Wiskunde in woord én beeld

In logica en wiskunde werken beeld en taal innig samen. Hoe? Een vraag voor vele jaren onderzoek.
Maar dat sprake is van fijnmazige interactie, dat beseffen wiskundigen en logici heel goed. De laatste decennia is hierover een bloeiend onderzoeksveld ontstaan, waarin wiskunde, logica, informatietheorie, cognitiewetenschap, psychologie en geschiedenisstudie samen optrekken.

De meest directe combinatie van visuele én talige wiskunde, is natuurlijk de meetkunde. 2 maart j.l. gaf logicus prof. dr Johan van Benthem hierover een presentatie in de serie De Taal Voorbij in Pakhuis de Zwijger. Hij voerde de toehoorders langs enkele meetkundige bewijzen, en liet zien welke onderzoeksvragen hierbij opduiken.

Prof. Johan van Benthem,  Taal Voorbij #28, Pakhuis de Zwijger

Een bewijs

Een meetkundig bewijs van de overbekende stelling van Pythagoras. Uiteraard parate kennis, maar liever safe than sorry: de stelling gaat over rechthoekige driehoeken, dat zijn driehoeken die één rechte hoek hebben: een hoek van 90 graden. Een rechthoekige driehoek heeft twee zogenaamde rechthoekzijden en één ‘schuine zijde’. Geven we de rechthoekzijden de symbolen a en b, en de schuine zijde het symbool c, dan zegt ‘Pythagoras’: a²+b²=c².

Hoe dit te bewijzen? Niet direct een verwachte keuze van Johan van Benthem. Hij gebruikte hiervoor een Chinees diagram – wat gelijk illustreert dat de ‘stelling van Pythagoras’ al eeuwenlang in vele culturen bekend is.

Chinees diagram

Op een rooster zien we, gekanteld, een groot vierkant, opgebouwd uit vier driehoeken plus een klein vierkantje. De twee rechthoekzijden van de driehoeken noemen we steeds a en b, de schuine zijden noemen we c. Met eenvoudige schoolalgebra – NB: algebra bestaat uit talige uitspraken, met veel korte symbolen – kunnen we dan laten zien dat a²+b²=c².

Analyse

Inzoomen: wat hebben we hier bij de hand? We hebben een tekening en een interpretatie. Deze interpretatie omvat minstens drie elementen:

1. De vier driehoeken zijn hetzelfde, ze zijn ‘congruent’.
2. Samen vormen de driehoeken een vierkant.
3. De resterende ruimte in het midden is ook een vierkant.

Omdat we het diagram zo interpreteren, mogen we gebruik maken van een stelling over de oppervlakte van driehoeken. Deze stelling zegt: de oppervlakte van een driehoek is de helft van het product van basis x hoogte, in formule: O = ½ b x h.

De stelling van Pythagoras

Deze stelling gebruiken we om algebraïsch te manipuleren met de grootheden a, b, c en hieruit kunnen we afleiden dat a²+b²=c², de stelling van Pythagoras.

De meetkunde maakt volop gebruik van een combinatie van beeld en een talige interpretatie. Maar de grote hamvraag is wat doet de combinatie, de interactie uiteindelijk om tot de beredeneerde uitspraken c.q. beelden te komen?

 

Ver-teken(en)de beelden

Het kan ook de andere kant op gaan. Net als taal of beeld afzonderlijk is beeldtaal ook voor het hele spectrum in te zetten. Van de waarheid tot en met de leugen, misleidend, en leidend tot onterecht/onjuiste conclusies. Bijvoorbeeld: een driehoek, vol gelijke hoeken, rechte hoeken en congruente lijnstukken, waarmee je zou kunnen bewijzen dat alle driehoeken gelijkbenig zijn (bij een gelijkbenige driehoek zijn twee zijden gelijk). Zulke driehoeken bestaan, maar zeker niet alle driehoeken zijn gelijkbenig. Het plaatje zet hier dus op het verkeerde been.

Klein’s driehoek

Escher heeft dat in extremo letterlijk doorgetrokken: wat hij laat zien aan getekende werkelijkheid lijkt te bestaan maar het kan in de werkelijkheid niet. De bouwsels van Escher kun je wel tekenen, maar niet driedimensionaal uitvoeren.

Curry’s paradox

Ander voorbeeld is een legpuzzel, waarbij verschuiving van de stukjes van een driehoek resulteert in een kleinere oppervlakte, wat natuurlijk onmogelijk is. Hier zit het venijn in de waarneming, de waarneming is vertekend. De oplossing van dit raadsel bestaat eruit dat het oog niet ziet dat de twee figuren in feiten geen driehoeken zijn. In beide gevallen is de schuine zijde namelijk niet exact rechtlijnig: in het ene geval is deze ‘bol’, in het andere geval ‘hol’. Maar dat ziet het oog niet.

Figuren op het bord 

Onderzoeksvragen

Hoogste tijd voor enkele algemene uitspraken en aandachtspunten rond het gecombineerd gebruik van diagram en logica in de wiskunde:

– Feit is dat in de meeste wiskundige teksten formules en diagrammen samen optrekken. Blijkbaar verschaffen ze in combinatie de theorie, de informatie, die de auteur wil overdragen. Deze natuurlijke samenwerking van taal en beeld heeft lange tijd geen aandacht gekregen.

– Het is niet zo dat een plaatje altijd direct duidelijk is. Het idee achter een visuele voorstelling dringt niet automatisch tot een waarnemer door. Vaak zijn aanwijzingen nodig om het beeld te interpreteren zoals de auteur bedoelt.

– Bij taal is grondig onderzoek gedaan naar de grammatica: wat is de structuur van talige zinnen? Vergelijkbaar, laat staan vergelijkend onderzoek naar beeldgrammatica is praktisch afwezig.

– Sommige delen van de hersenen zijn gespecialiseerd in visuele informatie, andere in talige informatie. Uit onderzoek blijkt dat bij wiskundige activiteit beide hersengebieden actief zijn. Blijkbaar is wiskundige activiteit een samenwerking van beeld en taal.

– Wie met meetkunde bezig is, een diagram bekijkt of een meetkundige uitspraak leest, is in zijn verbeelding vaak bezig met het schuiven of vervormen van wiskundige figuren. Een zekere motor sense (een stelling van Gerard Heymans, o.a. experimenteel psycholoog) lijkt belangrijk voor meetkundig denken.

– Er zijn vele manieren van denken. Bijvoorbeeld de dominantie van één van twee faculteiten. Meer visueler of taliger speelt dan uiteraard ook in de wiskunde een rol. Is er een analogie te maken met meer cognitiever of meer intuïtiever?

– Ook zonder gezichtsvermogen kun je je met wiskunde en meetkunde bezighouden. Hoe wordt dan de beeldcomponent ingevuld? Het roept intrigerende associaties op met blindsimultaan schaken.

– Hoe vindt het gecombineerd gebruik van beeld en taal eigenlijk plaats? Dat de hersenen beide faculteiten bezitten is uiteraard geen verklaring voor de combinatie. Misschien kan het verschijnsel van synesthesie inzichten geven hoe de hersenen met beeldtaal (kunnen) werken.

Onderzoek naar beeldtaal, de interactie tussen woord en beeld, in wiskunde en logica is een onderzoekdomein met veel perspectief. Het belang, bijvoorbeeld gezien de digitale revolutie en de informatie-explosie, zijn nieuwe inzichten en ideeën. Fascinerend en noodzakelijk. Geen recht pad, wel mogelijke kansen op fascinerende doorbraken. Wiskunde is cijfers, letters, fomules. En beelden.

Door: Jos Overbeeke